Phân tích nguyên lý Binius STARKs và suy nghĩ về tối ưu hóa

1 Giới thiệu

Một trong những lý do chính khiến STARKs kém hiệu quả là: hầu hết các giá trị trong chương trình thực tế đều khá nhỏ, chẳng hạn như chỉ số trong vòng lặp for, giá trị đúng/sai, bộ đếm, v.v. Tuy nhiên, để đảm bảo tính an toàn của chứng minh dựa trên cây Merkle, việc sử dụng mã hóa Reed-Solomon để mở rộng dữ liệu sẽ tạo ra nhiều giá trị thừa chiếm toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền trở thành chiến lược then chốt.

Độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ 1 là 252 bit, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ 2 là 64 bit, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ 3 là 32 bit, nhưng độ rộng mã hóa 32 bit vẫn có nhiều không gian lãng phí. So với đó, miền nhị phân cho phép thao tác trực tiếp trên bit, mã hóa gọn gàng và hiệu quả mà không có không gian lãng phí, đó là STARKs thế hệ 4.

So với Goldilocks, BabyBear, Mersenne31 và các phát hiện nghiên cứu gần đây về miền hữu hạn, nghiên cứu về miền nhị phân có thể được truy nguyên từ những năm 80 của thế kỷ trước. Hiện tại, miền nhị phân đã được ứng dụng rộng rãi trong mật mã học, với các ví dụ điển hình bao gồm:

• Tiêu chuẩn mã hóa nâng cao (AES), dựa trên miền F28;

• Galois mã xác thực thông điệp ( GMAC ), dựa trên miền F2128;

• Mã QR, sử dụng mã Reed-Solomon dựa trên F28;

• Giao thức FRI gốc và zk-STARK, cùng với hàm băm Grøstl lọt vào vòng chung kết SHA-3, hàm này dựa trên miền F28, là một thuật toán băm rất phù hợp cho đệ quy.

Khi sử dụng miền nhỏ hơn, việc mở rộng miền càng trở nên quan trọng để đảm bảo an toàn. Miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn phụ thuộc vào việc mở rộng miền để đảm bảo tính an toàn và khả năng sử dụng thực tế. Phần lớn các đa thức liên quan trong tính toán Prover không cần phải vào miền mở rộng, mà chỉ cần hoạt động trong miền cơ sở, do đó đạt được hiệu quả cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, việc kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần phải đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo an toàn cần thiết.

Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tế: Khi tính toán biểu diễn trace trong STARKs, kích thước miền được sử dụng phải lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết Merkle tree trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền được sử dụng phải lớn hơn kích thước sau khi mã hóa mở rộng.

Binius đã đề xuất một giải pháp sáng tạo để xử lý hai vấn đề này một cách riêng biệt và thể hiện cùng một dữ liệu thông qua hai cách khác nhau: đầu tiên, sử dụng đa biến (cụ thể là đa thức nhiều chiều) thay cho đa thức đơn biến, thông qua giá trị của nó trên "khối siêu" (hypercubes) để biểu thị toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, do chiều dài của mỗi chiều trong khối siêu đều là 2, nên không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon tiêu chuẩn như STARKs, nhưng có thể coi khối siêu như một hình vuông (square) và thực hiện mở rộng Reed-Solomon dựa trên hình vuông đó. Phương pháp này đảm bảo an toàn trong khi đồng thời nâng cao hiệu quả mã hóa và hiệu suất tính toán một cách đáng kể.

2 Phân tích nguyên lý

Hiện tại, hầu hết các hệ thống SNARKs được xây dựng thường bao gồm hai phần sau:

• Chứng minh Oracle tương tác đa thức lý thuyết thông tin (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP như là cốt lõi của hệ thống chứng minh, chuyển đổi các mối quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau cho phép người chứng minh gửi từng bước đa thức thông qua tương tác với người xác minh, giúp người xác minh chỉ cần truy vấn kết quả đánh giá của một số ít đa thức để xác minh xem tính toán có đúng hay không. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PLONK PIOP, Spartan PIOP và HyperPlonk PIOP, mỗi giao thức xử lý các biểu thức đa thức theo những cách khác nhau, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả của toàn bộ hệ thống SNARK.

• Sơ đồ cam kết đa thức (Polynomial Commitment Scheme, PCS): Sơ đồ cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh xem phương trình đa thức được tạo ra bởi PIOP có hợp lệ hay không. PCS là một công cụ mật mã, thông qua đó, người chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn đi các thông tin khác về đa thức. Một số sơ đồ cam kết đa thức phổ biến bao gồm KZG, Bulletproofs, FRI (Fast Reed-Solomon IOPP) và Brakedown. Các PCS khác nhau có hiệu suất, tính bảo mật và tình huống áp dụng khác nhau.

Dựa vào nhu cầu cụ thể, chọn PIOP và PCS khác nhau, và kết hợp với trường hữu hạn hoặc đường cong elip phù hợp, có thể xây dựng hệ thống chứng minh với các thuộc tính khác nhau. Ví dụ:

• Halo2: Kết hợp giữa PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Halo2 được thiết kế với sự chú trọng đến khả năng mở rộng, cũng như loại bỏ thiết lập tin cậy trong giao thức ZCash.

• Plonky2: Sử dụng PLONK PIOP kết hợp với FRI PCS và dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để đạt được tính tái diễn hiệu quả. Khi thiết kế các hệ thống này, PIOP và PCS được chọn phải phù hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong elip được sử dụng để đảm bảo tính chính xác, hiệu suất và an ninh của hệ thống. Sự lựa chọn của những kết hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh và hiệu quả xác minh của SNARK mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập đáng tin cậy hay không, và liệu nó có thể hỗ trợ các chức năng mở rộng như chứng minh tái diễn hoặc chứng minh tổng hợp hay không.

Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ then chốt để đạt được hiệu quả và an toàn của nó. Đầu tiên, cấu trúc số học dựa trên các tháp miền nhị phân (towers of binary fields) tạo thành nền tảng cho tính toán của nó, có khả năng thực hiện các phép toán đơn giản trong miền nhị phân. Thứ hai, Binius trong giao thức chứng minh Oracle tương tác của nó (PIOP) đã điều chỉnh kiểm tra sản phẩm và hoán vị HyperPlonk, đảm bảo kiểm tra tính nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức giới thiệu một chứng minh dịch chuyển đa tuyến mới, tối ưu hóa hiệu quả xác minh mối quan hệ đa tuyến trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius sử dụng chứng minh tìm kiếm Lasso phiên bản cải tiến, cung cấp tính linh hoạt và an toàn mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng kế hoạch cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), cho phép nó thực hiện hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân và giảm thiểu chi phí thường liên quan đến miền lớn.

2.1 Trường hữu hạn: Số học dựa trên tháp của các trường nhị phân

Trường nhị phân tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán nhanh chóng và có thể xác minh, chủ yếu nhờ vào hai khía cạnh: tính toán hiệu quả và tính toán hiệu quả. Trường nhị phân về cơ bản hỗ trợ các phép toán số học có hiệu suất cao, khiến nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu hiệu suất. Hơn nữa, cấu trúc trường nhị phân hỗ trợ quy trình số học đơn giản hóa, tức là các phép toán thực hiện trên trường nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số gọn gàng và dễ xác minh. Những đặc điểm này, cộng với khả năng tận dụng đầy đủ các đặc tính phân cấp của nó thông qua cấu trúc tháp, khiến trường nhị phân đặc biệt phù hợp cho các hệ thống chứng minh mở rộng như Binius.

Trong đó, "canonical" đề cập đến cách biểu diễn duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong miền nhị phân. Ví dụ, trong miền nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k bit nào cũng có thể được ánh xạ trực tiếp vào một phần tử miền nhị phân k bit. Điều này khác với miền số nguyên tố, miền số nguyên tố không thể cung cấp cách biểu diễn chuẩn này trong một số bit nhất định. Mặc dù miền số nguyên tố 32 bit có thể chứa trong 32 bit, không phải mọi chuỗi 32 bit đều có thể tương ứng duy nhất với một phần tử miền, trong khi miền nhị phân có tính tiện lợi của ánh xạ một-một. Trong miền số nguyên tố Fp, các phương pháp giảm phổ biến bao gồm giảm Barrett, giảm Montgomery, và các phương pháp giảm đặc biệt cho các miền hữu hạn cụ thể như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong miền nhị phân F2k, các phương pháp giảm thường được sử dụng bao gồm giảm đặc biệt (như được sử dụng trong AES), giảm Montgomery (như được sử dụng trong POLYVAL) và giảm đệ quy (như Tower). Bài báo "Khám Phá Không Gian Thiết Kế của Các Triển Khai Phần Cứng ECC Trường Số Nguyên Tố So Với Trường Nhị Phân" chỉ ra rằng miền nhị phân không cần phải đưa vào việc truyền sang trong các phép cộng và nhân, và phép bình phương trong miền nhị phân rất hiệu quả, vì nó tuân theo quy tắc đơn giản (X + Y )2 = X2 + Y 2.

Như hình 1 cho thấy, một chuỗi 128 bit: chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách trong ngữ cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được coi là một phần tử duy nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai phần tử miền tháp 64 bit, bốn phần tử miền tháp 32 bit, mười sáu phần tử miền tháp 8 bit, hoặc 128 phần tử miền F2. Sự linh hoạt trong cách biểu diễn này không cần bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là một chuyển đổi loại (typecast) của chuỗi bit, là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các phần tử miền nhỏ có thể được đóng gói thành các phần tử miền lớn hơn mà không cần thêm chi phí tính toán. Giao thức Binius đã tận dụng đặc điểm này để cải thiện hiệu quả tính toán. Hơn nữa, tài liệu "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" đã khám phá độ phức tạp tính toán của phép nhân, bình phương và phép nghịch đảo trong miền nhị phân tháp n bit (có thể phân giải thành miền con m bit).

2.2 PIOP: Phiên bản chỉnh sửa sản phẩm HyperPlonk và PermutationCheck------适用于二进制域

Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, sử dụng một loạt các cơ chế kiểm tra cốt lõi để xác minh tính chính xác của đa thức và tập hợp nhiều biến. Các kiểm tra cốt lõi này bao gồm:

1. GateCheck: Xác thực chứng nhận bảo mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn quan hệ tính toán của mạch C(x,ω)=0, để đảm bảo mạch hoạt động chính xác.

2. PermutationCheck: Xác minh kết quả đánh giá của hai đa thức nhiều biến f và g trên khối siêu Boolean có phải là quan hệ hoán vị hay không f(x) = f(π(x)), để đảm bảo tính nhất quán của sự sắp xếp giữa các biến đa thức.

3. LookupCheck: Xác minh xem giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo rằng một số giá trị nằm trong phạm vi chỉ định.

4. MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.

5. ProductCheck：Kiểm tra giá trị của đa thức hợp lý trên hypercube Boolean có bằng với giá trị được tuyên bố nào đó ∏x∈Hµ f(x) = s, để đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.

6. ZeroCheck: Xác thực một đa biến đa thức tại bất kỳ điểm nào trên siêu khối Boolean có phải là không ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân phối điểm không của đa thức.

7. SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa thức nhiều biến có phải là giá trị đã tuyên bố ∑x∈Hµ f(x) = s. Bằng cách chuyển đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành đánh giá đa thức một biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Hơn nữa, SumCheck còn cho phép xử lý hàng loạt bằng cách đưa vào số ngẫu nhiên, cấu trúc tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý hàng loạt cho nhiều trường hợp kiểm tra tổng.

8. BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác thực tính chính xác của nhiều giá trị đa thức đa biến để nâng cao hiệu quả của giao thức.

Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã cải tiến ở 3 khía cạnh sau:

• Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U phải khác không trên siêu lập phương, và tích phải bằng một giá trị cụ thể; Binius đã đơn giản hóa quá trình kiểm tra này bằng cách chuyên biệt hóa giá trị đó thành 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.

• Xử lý vấn đề chia cho không: HyperPlonk không thể xử lý đầy đủ trường hợp chia cho không, dẫn đến không thể xác định vấn đề không bằng U trên siêu khối; Binius đã xử lý đúng vấn đề này, ngay cả khi mẫu số bằng không, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến bất kỳ giá trị tích nào.

• Kiểm tra hoán vị đa cột: HyperPlonk không có chức năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này cho phép Binius xử lý các tình huống sắp xếp đa thức phức tạp hơn.

Do đó, Binius đã cải thiện cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức, đặc biệt là khi xử lý việc xác minh đa thức đa biến phức tạp hơn, cung cấp hỗ trợ chức năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết được những hạn chế trong HyperPlonk mà còn đặt nền tảng cho các hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân trong tương lai.

2.3 PIOP：lập luận dịch chuyển đa tuyến mới------áp dụng cho hypercube boolean

Trong giao thức Binius, việc xây dựng và xử lý đa thức ảo là một trong những công nghệ then chốt, có khả năng tạo ra và thao tác hiệu quả các đa thức được phát sinh từ tay cầm đầu vào hoặc các đa thức ảo khác. Dưới đây là hai phương pháp chính:

• Đóng gói：Phương pháp này tối ưu hóa hoạt động bằng cách đóng gói các phần tử nhỏ hơn ở vị trí liền kề trong thứ tự từ điển thành các phần tử lớn hơn. Toán tử Pack nhắm vào các khối có kích thước 2κ và sẽ chúng.